Partikel dalam kotak 3-Dimensi - Kimia Fisika

  Download dokumen

A.      Partikel dalam kotak 3-Dimensi

 

Partikel kuantum dalam masalah kotak 1D dapat diperluas untuk mempertimbangkan partikel dalam dimensi yang lebih tinggi seperti yang ditunjukkan di tempat lain untuk partikel kuantum dalam kotak 2D. Di sini kita melanjutkan ekspansi menjadi partikel yang terperangkap dalam kotak 3D dengan tiga panjang L_x, L_y, dan L_z. Seperti sistem lainnya, tidak ada gaya (yaitu, tidak ada potensial) yang bekerja pada partikel di dalam kotak (Gambar 1).

Gambar 1. Sebuah partikel dalam kotak 3D dengan tiga panjang L_x, L_y, dan L_z

Potensial partikel di dalam kotak

                                                                     (1)

·       0 ≤ x ≤ L_x

·       0 ≤ y ≤ L_y

·       0 ≤ z ≤ L_z

·       L_x < x < 0

·       L_y < y < 0

·       L_z < z < 0

adalah vektor dengan ketiga komponen di sepanjang tiga sumbu kotak 3-D: . Ketika energi potensial tidak terbatas, maka fungsi gelombang sama dengan nol. Ketika energi potensial adalah nol, maka fungsi gelombang mematuhi Persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu:

(2)

Karena kita berurusan dengan sosok 3 dimensi, kita perlu menambahkan 3 sumbu yang berbeda ke dalam persamaan Schrodinger:

(3)

Cara termudah dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial ini adalah dengan memiliki fungsi gelombang yang sama dengan produk fungsi individu untuk setiap variabel independen (misalnya, teknik Pemisahan Variabel):

(4)

Sekarang setiap fungsi memiliki variabelnya sendiri:

·       X(x) adalah fungsi dari variabel x saja

·       Y(y) adalah fungsi dari variabel y saja

·       Z(z) adalah fungsi dari variabel z saja

Sekarang substitusikan Persamaan 4 ke Persamaan 3 dan bagi dengan produk xyz:

	(5)
	(6)
	(7)
	(8)

 

E adalah konstanta energi, dan merupakan jumlah dari x, y, dan z. Agar ini berhasil, setiap suku harus sama dengan konstantanya sendiri. Sebagai contoh,         

(9)

Sekarang pisahkan setiap suku dalam Persamaan 8 menjadi sama dengan nol:

Sekarang kita dapat menambahkan semua energi bersama-sama untuk mendapatkan energi total:

(10)

Apakah persamaan ini terlihat familier? Mereka seharusnya karena kita sekarang telah mengurangi kotak 3D menjadi tiga partikel dalam masalah kotak 1D!

 

(11)

 

Sekarang persamaannya sangat mirip dengan kotak 1-D dan kondisi batasnya identik, yaitu,

 

n = 1, 2, …. ∞

(12)

 

Gunakan persamaan fungsi gelombang normalisasi untuk setiap variabel:

 

(13)

 

Persamaan fungsi gelombang normalisasi untuk setiap variabel (yang disubstitusikan ke Persamaan 4):

	(14)
	(15)
	(16)

 

Batas dari tiga bilangan kuantum

n_x = 1, 2, 3, …. ∞

n_y = 1, 2, 3, …. ∞

n_z = 1, 2, 3, …. ∞

Untuk setiap konstanta gunakan persamaan Energi de Broglie:

(17)

Dengan n_x = 1…. ∞

Lakukan hal yang sama untuk variabel n_y dan n_z. Gabungkan Persamaan 4 dengan Persamaan 14-16 untuk mencari fungsi gelombang di dalam kotak 3D.

 

(18)

Dengan

(19)

Untuk mencari Energi Total, tambahkan Persamaan 17 dan Persamaan 10.

 

(20)

 

Perhatikan kesamaan antara energi partikel dalam kotak 3D (Persamaan 20) dan kotak 1D.

 

B.      Diagram tingkat energy untuk partikel dalam kotak 3 dimensi berbentuk kubus (10 tingkat energy pertama)

Energi partikel dalam kubus 3-D (yaitu, L_x = L_y = L_z = L) dalam keadaan dasar diberikan oleh Persamaan 20 dengan n_x=1, n_y=1, dan n_z=1. Energi ini (E_1,1,1) karenanya

                                                                          (21)

            Keadaan dasar hanya memiliki satu fungsi gelombang dan tidak ada keadaan lain yang memiliki energi spesifik ini; keadaan dasar dan tingkat energi dikatakan tidak merosot. Namun, dalam potensi kotak kubus 3-D, energi suatu keadaan bergantung pada jumlah kuadrat bilangan kuantum (Persamaan 18). Partikel yang memiliki nilai energi tertentu dalam keadaan tereksitasi mungkin memiliki beberapa keadaan stasioner atau fungsi gelombang yang berbeda. Jika demikian, keadaan dan nilai eigen energi ini dikatakan merosot.

atau keadaan tereksitasi pertama, tiga kombinasi bilangan kuantum (n_x,n_y,n_z) adalah (2,1,1); (1,2,1); (1,1,2). Jumlah kuadrat bilangan kuantum pada setiap kombinasi adalah sama (sama dengan 6). Setiap fungsi gelombang memiliki energi yang sama:

                                                                                                          (22)

Sesuai dengan kombinasi ini tiga fungsi gelombang yang berbeda dan tiga keadaan yang berbeda dimungkinkan. Oleh karena itu, keadaan tereksitasi pertama dikatakan berdegenerasi tiga kali lipat atau tiga kali lipat. Banyaknya fungsi gelombang bebas untuk keadaan stasioner suatu tingkat energi disebut derajat degenerasi tingkat energi. Nilai tingkat energi dengan kombinasi yang sesuai dan jumlah kuadrat dari bilangan kuantum.

n² = n_x² + n_y² + n_z²                                                                                                          (23)

serta derajat degenerasi digambarkan pada Tabel 1

 

Tabel 1. Tingkat energy dan sifat degenerasi partikel dalam kubus 3-D dengan L_x = L_y = L